Territorio Áureo
Territorio Áureo
En uno de los capítulos de The geometry of art and life[1] de Matila Ghyka, el pintoresco príncipe rumano desarrolla la formulación matemática del número de oro. Como es bien conocido, anteriormente al número Φ, Ghyka le había dedicado en 1931 todo un libro Le nombre d’or;[2] quizá por eso se permite de una manera bastante directa empezar formulando la matemática del número Φ sin mayor introducción y a desgranar todas las diferentes propiedades de la famosa ecuación:
Entre estas propiedades Ghika cita a Thompson al describir el método para obtener un rectángulo similar dentro de un rectángulo dado, que consiste en dibujar una diagonal en éste último y después trazar una perpendicular desde uno de los vértices que quedan libres a esa diagonal; Esta construcción es un rectángulo Φ. Para describir la mínima superficie que hay que dar a un rectángulo dado para producir una superficie similar, Ghyka toma prestado la terminología de Thompson llamando a esta superficie gnomon. Como curiosidad, en un rectángulo Φ el gnomon es un cuadrado.
Siguiendo la línea expeditiva, como si el interés del libro no estuviera en este capítulo pero fuera fundamental centrar estos conceptos antes de llegar a lo interesante, Ghyka introduce la noción de serie de Fibonacci, nombre que proviene de su re-descubridor en 1202 Filius Bonacci de Leonardo de Pisa, para determinar que la secuencia de crecimiento o crecimiento gnomótico tal como lo llama Thompson, volviéndolo a citar, es una secuencia donde Φ tiene un papel importante.[3] Y a su vez constituye un auténtico pautado en los crecimientos del cuerpo humano y la botánica.
El concepto de área Φ lleva inmediatamente a la idea de ángulo ideal, es decir el ángulo constante entre hojas o ramas de un tallo generando la máxima exposición vertical al sol. Este ángulo que es 137 grados, 30 minutos, 27 segundos proviene de una sección áurea y fue refrendada matemáticamente por Wiesner en 1875.[4]
La sección áurea es igualmente importante en las proporciones del cuerpo humano, hecho que seguramente conocían los escultores griegos, que gustaban de hacer evidente el paralelismo entre las proporciones del templo ideal y el cuerpo humano o trazar una harmoniosa correspondencia entre los términos Universo-Templo-Hombre.
Las propiedades puramente geométricas de la sección áurea introducen otra inesperada razón en su preponderancia en botánica y los organismos vivos en general. La fórmula del número de oro está íntimamente ligada con el pentágono, con un pentagrama, estrella de cinco puntas inscrito en un pentágono, y aún más con su construcción descubierta por Pitágoras y relacionada gracias a Euclides mediante la fórmula:
Pr=R/2√10-2√5 y Ps=R/2√10+2√5
Siendo Pr el lado de un pentágono regular y Ps el lado de un pentagrama. De las dos fórmulas anteriores se obtiene que Ps/Pr= Φ
Esta importante relación entre la diagonal de un pentágono regular con su lado muestra una íntima relación entre la Sección áurea, el pentágono y en general toda simetría pentagonal.
Igualmente tenemos que dr=R/ Φ’ y ds=RxΦ donde el lado de un decágono regular, el radio del círculo circunscrito y el lado de una estrella-decágono forman una progresión áurea de los tres términos.
Debido a esta conexión entre la serie áurea, las series de Fibonacci y el crecimiento homotético, y entre la sección áurea y el pentágono, no podemos sorprendernos, según Ghika, de la preponderancia de la simetría pentagonal en los organismos vivos, especialmente en botánica y entre animales marinos como las estrellas de mar, las medusas y los erizos de mar.
El pentadactilismo, cinco dedos o los correspondientes huesos o cartílagos, general en el reino animal es también una manifestación de la misma preponderancia del número cinco y la simetría pentagonal.
El tema del número de oro ha sido central en muchos autores anteriormente y en Ghyka podríamos decir que es una auténtica fuerza motriz para desarrollar sus teorías y escritos. Como ya he mencionado anteriormente Ghyka dedicó todo un libro al número de oro en Le nombre d’or. Este libro es a su vez una ampliación de Esthétique des Proportions dans la Nature et dans les Arts[5] publicado en 1927.
Podemos decir que el valor de la obra de Ghyka es la profundidad y obstinación en como intenta desgranar toda la arquitectura y las artes mediterráneas a partir de su formulación matemática exponiendo tres sistemas o hipótesis que recorren sus tres libros principales. De estas hipótesis Ghyka saca la esencia para ligarlas con la kabbala y la masonería, desmenuzando un sinfín de ejemplos en figuras geométricas simples.
El fundamento de la obra de Ghyka y en especial The Geometry of Art and Life, es que, de la misma forma que el arte está basado en estas geometrías de raíz pitagórica y platónica, los modelos de crecimiento en la naturaleza también responden a las proporciones áureas, las secuencias de Fibonacci y figuras geométricas como el pentágono, el hexágono y sus múltiples variantes.
No es extraño por tanto que sintamos una atracción irrefrenable por las libretas Moleskin, que las tarjetas bancarias y muchas de las tarjetas de visita tengan la proporción áurea y que en muchas ocasiones, conscientemente algunas veces y de forma totalmente inconsciente en otras, usemos el número de oro para dar proporción a nuestros espacios.
Vivimos en un territorio áureo. Hay una historia que contar que relaciona pasado, presente y seguramente futuro a través de la proporción Φ. Hay un elemento común entre la natura y la cultura, entendidos ambos como la sublimación de lo natural y lo artificial, que también es Φ. Hay en definitiva, en medio del caos y el aparente desorden que nos rodea, un número que nos relaciona.
Me parece bonito pensar, al igual que Matila Ghyka, que hay un proyecto global a proporcionar basado en el número Φ, una utopía áurea que transformaría las realidad, a veces tan áspera y desagradable, en algo esencialmente bello y dorado. Más aún, quizás deberíamos seguir investigando si los modelos de creación y transformación de la energía tienen un patrón áureo, si el modelo de reconfiguración plástica del cerebro, o lo que los neurocientíficos llaman la neuroplasticidad del cerebro, tiene una razón áurea, o si el patrón de crecimiento de la interacción social tienen un fundamento áureo. Estoy casi convencido que Ghyka, de estar vivo, estaría investigando estas relaciones.
En definitiva, la idea de visualizar una proporción casi mágica, quizás simplemente consista en un deseo infantil, o todo lo contrario, el proyecto más ambicioso que nunca se pueda imaginar.
En la imagen que ilustra este post se puede observar a simple vista la relación entre el número de oro y la idea de fractal. Una de tantas relaciones que surgen entre la naturaleza y las matemáticas.
[1] GHYKA, Matila, The Geometry of Art and Life, Dover Publications Inc, Nueva York, 1977 (1946)
[2] GHYKA, Matila, El número de oro, Poseidon, Barcelona, 1968 (1931)
[3] El ratio entre dos términos consecutivos de una serie de Fibonacci es Φ en el límite.
[4] Wiesner determina, en 1875, que el mínimo de superposición posible en relación con la distribución de las hojas alrededor del tronco se logra con un ángulo de divergencia igual a 137° 30′ 27,951″. Este ángulo es, a su vez, el ángulo inverso de Va-1/2 de 360°. En la serie de Fibonacci, cuando esta relación se aproxima al límite, éste ángulo resulta ser V5-J1/2J. Este argumento le permite a Cook relacionar los números de la serie de Fibonacci (1,2,3,5,8,13,21,34,etc., en donde cada término es la suma de los dos precedentes) con diversas disposiciones de hojas y flores. De esta manera, las flores se reparten en número de 3 ó 5, las escamas de las cortezas de las piñas giran en 5, 8 ó 13 series de curvas, etc.
[5] GHYKA, Matila, Esthétique des Proportions dans la Nature et dans les Arts, Colección La Pensée Contemporaine, Ediciones de la N.R.F., París, 1927
axonométrica 